Parametr k oznacza tutaj współczynnik sprężystości powietrza lub innego gazu zawartego w szerszej części butelki ( rezonatora ) ; natomiast m oznacza masę gazu oscylującego w szyjce butelki - rezonatora. Aby przeprowadzić obliczenia służące wyznaczeniu współczynnika k wyobraźmy sobie, że w szyjce rezonatora - butelki nie drga wcale słup powietrza, ale wydłużony "tłok" wykonany wprawdzie z ciała stałego, ale bardzo lekkiego, tj. o gęstości prawie równej gęstości powietrza ( istnieją takie substancje zwane aerożelami . Zatem współczynnik sprężystości możemy wyznaczyć na mocy definicji przy pomocy wzoru podstawowego : 
  ( gdzie F oznacza siłę, z jaką wypadający z szyjki tłok oddziałuje na powietrze lub inny gaz znajdujący się w szerszej części rezonatora ; natomiast Δ x oznacza głębokość, na jaką wysunie się wypadający ze szyjki rezonatora ( butelki ) ów ultralekki tłok wykonany z aerożelu . )
Parametry stojące po prawej stronie owego wzoru postaramy się zastąpić parametrami bardziej pasującymi do kinetyczno-molekularnej teorii gazu, np. ciśnieniem oraz objętości ( a także - przyrostami tych wielkości ). Zauważmy, że owe wielkości po prawej stronie ostatniego wzoru możemy zastąpić w sposób następujący :    F = S * Δ p   ;   Δ x = Δ V ⁄ S
  ( gdzie Δ p jest zmianą ciśnienia akustycznego, np. jest równe amplitudzie lub podwojonej wartości amplitudy ; natomiast Δ jest zmianą objętości gazu w szyjce wywołaną przesunięciem owego "ultralekkiego" tłoka. )
Zatem możemy wzór na współczynnik sprężystości napisać już w bardziej 'skonkretyzowanej' postaci : 
Należy teraz się zastanowić, w jaki sposób iloraz przyrostu ciśnienia do przyrostu ( zmiany objętości ) zastąpić ilorazem wielkości bardziej 'statycznych'. Na początek załóżmy, że wszelkie zmiany ciśnienia akustycznego oraz objętości dokonują się na tyle szybko ( tj. np. w okresie "słyszalnej" fali akustycznej ), że pulsujący w szyjce i w szerszej części rezonatora ośrodek ( gaz ) nie zdąży wymienić ciepła z otoczeniem. Zatem trzeba sięgnąć do wzorów opisujących tzw. przemianę adiabatyczną. Podstawowe równanie opisujące przemianę adiabatyczną przyjmuje postać następującą :      p * V κ = const,
  ( gdzie wykładnik κ jest tzw. współczynnikiem ściśliwości adiabatycznej , omówionym na poprzednim wykładzie. )
Obliczmy teraz pochodną obu stron powyższego wyrażenia, np. względem głębokości x , na jaką zapada się ów ultralekki tłok z szyjki do wnętrza szerszej części rezonatora. Przy obliczaniu owej pochodnej skorzystamy ze wzorów na pochodną iloczynu oraz na pochodną potęgi ( funkcji potęgowej ) :      ( ∂ p ⁄ ∂ x ) * V κ + κ * p * V ( κ - 1 ) * ( ∂ V ⁄ ∂ x ) = 0
  ( Po prawej stronie owej zróżniczkowanej równości pojawia się zero, ponieważ pochodna ze stałej jest równa zeu. )
Pochodne względem x możemy zastapić odpowiednimi różniczkami uzyskująć :      d p * V κ + κ * p * V ( κ - 1 ) * d V = 0
Z kolei różniczki można zastąpić przyrostami skończonymi :      Δ p * V κ + κ * p * V ( κ - 1 ) * Δ V = 0
Stąd wartość bezwzględną stosunku Δ p do Δ V można wyznaczyć następująco : 
Tę zastępczą postać ilorazu przyrostu ciśnienia do przyrostu objętości podstawimy do wzoru opisującego współczynnik sprężystości k : 
Tak wyrażony współczynnik sprężystości możemy teraz podstawić do wzoru na podstawową częstotliwość rezonansową ω układu drgającego ; ponieważ w mianowniku tego wzoru ( pod operatorem pierwiastka kwadratowego ) występuje drgająca masa m , możemy ją wyznaczyć jako   m = ρ * S * l   ( gdzie ρ jest gęstością ośrodka, tj.gazu wypełniającego rezonator Helmholtza, S jest polem powierzchni przekroju szyjki owego rezonatora, natomiast l jest długością owej szyjki ). Po podstawieniu otrzymamy zatem ; 
W końcowych przekształceniach wykorzystano wzór Laplace`a ( o którym wspomniano na poprzednim wykładzie opisujący zależność prędkości propagacji podłużnej fali akustycznej od ciśnienia statycznego oraz od gęstości ośrodka ( gazu ), w którym fala się propaguje. Dla przypomnienia ów wzór Laplace'a ma postać :      c = √ ( κ * p ⁄ ρ )
Jeżeli nie interesuje nas kątowa częstotliwość rezonansowa, tylko częstotliwość rezonansowa "zwykła", to możemy ów wzór opisujący częstotliwości rezonansu układu Helmholtza przekształcać dalej : 
W ten sposób uzyskano znany ( np. z literatury ) wzór opisujący częstotliwość rezonansową rezonatora Helmholtza. 
  http://www.staff.amu.edu.pl/~rutaku/ap/poglos/poglos_a.html
Na powyższej stronie przytoczono kilka wzorów opisujących czas pogłosu. Zajmijmy się najprostszym z nich, tzw. wzorem Sabine'a . Wzór ten stosuje się w przypadku ścian dość dobrze odbijających fale akustyczne, kiedy w przypadku tych licznych i wyraźnych odbić tworzy się tzw. dyfuzyjne pole akustyczne , tj. pole akustyczne na tyle "wymieszane", że nie sposób w nim wyodrębnić jakiegoś "uprzywilejowanego" kierunku propagacji fal akustycznych. Wzór Sabine'a możemy przypomnieć w dwóch postaciach : 
Górna postać tego wzoru to bardziej ogólna postać wzoru Sabine'a ; odnosi się ona do sytuacji, kiedy poszczególne ściany pomieszczenia różnią się wartością współczynnika pochłaniania. Dolna ( prostsza ) postać tego wzoru odnosi się natomiast do sytuacji, kiedy współczynnik pochłaniania wszystkich ścian pomieszczenia jest jednakowy. Postaramy się teraz ów wzór Sabine`a sprowadzić do pewnej szczególnej postaci, a następnie postaramy się tę szczególną postać udowodnić. Przyjmijmy, że pomieszczenie ( do którego ma się odnosić ów wzór ) ma postać sześcianu, a wszystkie jego ściany ( tj. sześć identycznych powierzchni włącznie z podłogą i ze sufitem ) wyłożonych jest jednym i tym samym materiałem o współczynniku pochłaniania równym α . Wykorzystując ową szczególną symetrię, uprośćmy postać wzoru Sabine`a przyjmując, że pomieszczenie jest sześcianem o boku a . Wówczas wzór Sabine`a na czas pogłosu przyjmie postać : 
Jest to oczywiście wzór "półempiryczny", przydatny do praktycznego stosowania, choć jego postać matematyczna może budzić wątpliwości. Jeżli przyjmie się, że liczba stojąca w liczniku tego wzoru jest niemianowana, to okaże się, że wymiarem czasu pogłosu jest jednostka długości, czyli metr. Zatem liczba znajdująca się w liczniku nie może być liczbą bezwymiarową ; musi być w niej ukryty wymiar mający sens odwróconej prędkości ( tj. [ s ⁄ m ] ). Ponadto bardziej dokładny wzór opisujący czas pogłosu powinien zawierać ( w mianowniku ) prędkość propagacji fal akustycznych. Jeżeli np. komorę dekompresyjną ( używaną np. przez nurków ) wypełni się helem, to czas pogłosu będzie znacznie krótszy niż gdyby tę samą komorę wypełnić powietrzem ( prędkość propagacji fal akustycznych w helu jest kilka razy większa od prędkości propagacji tych samych fal w powietrzu ). Warto zatem ostatnią postać "symetrycznego" wzoru przedstawić w taki sposób, aby w mianowniku owego wzoru występowała jawnie prędkość propagacji fal akustycznych. Pomnóżmy zatem licznik i mianownik ostatniej postaci wzoru przez prędkość propagacji fal akustycznych w powietrzu ( przyjmując, że   c = 340 [ m ⁄ s ] ) : 
Właśnie tę ostatnią postać wzoru Sabine'a ( z prędkością propagacji c w mianowniku wzoru ) postaramy się teraz udowodnić. Zatem ów wyprowadzany "samodzielnie" wzór na czas pogłosu zapiszmy początkowo w postaci zdającej sprawę ze zwielakratniania się ubytków energii akustycznej w pomieszeniu ( wskutek pochłonięcia pewnej porcji energii w przypadku każdorazowego odbicia ) w miarę zwiększania się liczby odbić : 
  ( gdzie T 1 oznacza czas, w jakim tracona jest jednostkowa porcja energii w interwale czasu pomiędzy kolejnymi odbiciami ; natomiast n oznacza liczbę odbić aż do uzyskania wartości 10 -6 początkowego natężenia fali wybrzmiewającej. )
Liczbę odbić n wyznaczymy w dalszych rozważaniach, teraz skupmy się na wyznaczeniu wielkości T 1 : 
Innymi słowy ów czas tracenia jednostkowej "porcji" energii akustycznej równy jest ilorazowi energii pozyskanej ze żródła w ciągu jednego cyklu 'między odbiciami' przez moc pochłoniętą przez ściany pomieszczenia. Owa moc pochłonięta przez ściany pomieszczenia równa jest znajdującemu się w mianowniku wzoru iloczynowi współczynnika pochłaniania α , natężenia I oraz sumarycznej powierzchni ścian bocznych, podłogi i sufitu S . Zakładamy przy tym, że źródło fali akustycznej promieniuje ową falę przez cały czas potrzebny na dobiegnięcie owej fali do którejkolwiek z odbijających częściowo ścian pomieszczenia. Spełnienie owego warunku gwarantuje ciągłość ( tj. brak króciutkich przerw ) sygnału zanikającego stopniowo w pomieszczeniu. Drogę przebytą do najbliższej ze ścian odbijających oznaczyliśmy przez d 1 ; jeżeli źródłem fali akustycznej jest źródło punktowe umieszczone dokładnie w geometrycznym środku sześcianu, to wówczas : 
Uznajemy, że wyznaczona "średnia" odległość d s równa jest odległości d 2 niezbędnej do wyznaczenia natężenia. Podstawiamy zatem tę wielkość do wzoru na czas 'jednostkowego' zaniku ( tj. zaniku pomiędzy kolejnymi odbiciami ) : 
Aby uzyskać całkowity czas pogłosu, należy otrzymane wyrażenie pomnożyć przez n , czyli przez liczbę odbić. Aby skonstruować wyrażenie pozwalające wyznaczyć owo n , warto zauważyć, że po pierwszym odbiciu w pomieszczeniu pozostaje pewien ułamek energii pierwotnie wyemitowanej do pomieszczenia ; ułamek ten jest równy β , czyli natężeniowemu współczynnikowi odbicia. Po drugim odbiciu pozostaje β 2 pierwotnej energii akustycznej ; po trzecim odbiciu pozostaje β 3 owej energii pierwotnej, itp. Zatem po n odbiciach energia, moc czy natężenie osłabną 10 6 razy, zgodnie z definicją czasu pogłosu. Spostrzeżenie to pozwala skonstruować wyrażenie przydatne do wyznaczenia wartości n :      β n = 10 6
Stąd po zlogarytmowaniu otrzymujemy : 
Wyznaczoną w ten sposób wartość n należy przemnożyć przez wyznaczoną wcześniej wartość T 1 , aby uzyskać całkowity czas pogłosu : 
Należy w tym miejscu zastanowić się nad wyrażeniem typu   α * log ( 1 - α ) ; Załóżmy, że rozpatrujemy zmienność natężeniowego współczynnika pochłaniania w tylko bardzo wąskim zakresie ( np. wokół α = 0.5 ) ; po prostu ze względu na warunki odpowiadające zakresowi stosowalności wzoru Sabin'a, współczynnik pochłaniania nie może być zbyt bliski jedności. Zapewne wiadomo już z matematyki, że funkcja log (x ) zmienia się dużo wolniej niż samo x ; rozwińmy zatem funkcję logarytm w szereg Taylora i uwzględnijmy jedynie liniowy wyraz rozwinięcia. Najpierw dokonajmy jednak małego podstawienia : 1 - α = x ; po uwzględnienie takiego podstawienia uzyskamy :      α * log ( 1 - α ) = ( 1 - x ) * log ( x )
  Obliczmy pochodną ( pierwszą pochodną ) wyrażenia po prawej stronie powyzszego woru :
 
  Wykorzystajmy tę pierwszą pochodną do rozwinięcia wyrażenia   α * log ( 1 - α (   w szereg Taylora :
 
  Nasuwa się w tym miejscu pytanie : jaką obrać wartość parametru α 0 ?
  Klasyczna literatura na temat wzoru Sabine'a utrzymuje, że wzór ten stosuje się dla małych wartości współczynnika pochłaniania, tj. dla α ≤ 0.2 :  Jednak bardziej współczesna literatura utrzymuje, że wzór Sabine'a można stosować aż do wartości współczynnika pochłaniania mniejszej od 0.3 :
  https://odeon.dk/pdf/RT_in_nondiffuse_rooms.pdf
  Obierając wartość parametru α 0 powinniśmy się jednak zdecydować na jakąś wartość pośrednią pomiędzy 0.2 a 0.3 . Niech będzie to średnia arytmetyczna, czyli α 0 = 0.25 ; wówczas otrzymujemy :      α * log ( 1 - α ) ≅ 0.2697036 * α
  Po uwzględnieniu tak wyliczonego wyrażenia w mianowniku wzoru na czas pogłosu uzyskamy ostateczną postać tego wzoru :
 
Zatem w elementarny sposób, przy wykorzystaniu szkolnych zależności pomiędzy energią, mocą i czasem, udowodniono szczególną postać wzoru Sabine'a.  Osoby bardziej zaawansowane matematycznie mogą zapoznać się z innym, bardziej zaawansowanym matematycznie sposobem wyprowadzenia wzoru Sabine`a :
 
 
 
Strzelec znajduje się w odległości d od obu ścian kanionu o szerokości l , a zatem znajduje się w połowie szerokości owego kanionu ( d = ½ * l ). Strzelec trzyma w zgiętej ręce pistolet startowy , pistolet hukowy lub przyrząd do odpalenia ładunku magnezji fotograficznej. Ów pistolet lub przyrząd magnezjowy znajduje się w odległości r od najbliższego ucha strzelca - obserwatora ; zakładamy przy tym, że r < < d . Zarówno któryś z pistoletów ( startowy, hukowy, sygnałowy, itp. ) lub przyrząd magnezjowy stanowią punktowe źródło fali akustycznej. Nawet przy początkowym przyjęciu założenia, że obie ściany "kanionu" odbijają doskonale fale akustyczne ( tzn. że β = 1 ), to wielokrotne odbicie fali akustycznej spowoduje osłabienie jej natężenia aż do momentu, w którym wartość owego natężenia osiągnie wartość progową ( tj. progu słyszalności ) i kolejne odbicie huku wystrzału ( lub huku wybuchu magnezji ) przestanie już być słyszalne. Spróbujmy zatem oszacować, ile odbić zdoła usłyszeć ów strzelec - obserwator i jak długo będzie trwało to zjawisko. Na początek oszacujmy drogę jaką przebywa fala akustyczna po pierwszym odbiciu. Fala, która po wystrzale przebywa krótszą drogę do ściany odbijającej faktycznie przebywa drogę :      ( d - r ) + d = 2 * d - r
Fala akustyczna, która po wystrzale wybiera dłuższą drogę ( tj. do bardziej odległej ściany ), faktycznie przebywa odcinek :      ( d + r ) + d = 2 * d + r
Aby uniknąć w dalszym ciągu rozważań owej "asymetrii", zastanówmy się, czy nie można byłoby rozpatrywać jakiejś średniej odległości źródła huku od ściany. Średnia arytmetyczna daje rozwiązanie dość proste :      d S = [ ( d - r ) + ( d + r ) ] ⁄ 2 = d
Oczywiście można w tym miejscu podnieść zarzut, dlaczego wybrano do uśredniania akurat średnią arytmetyczną ? Aby nie musieć poddawać dyskusji tego typu wątpliwości, weźmy też pod uwagę średnią geormetryczną :      d S = √ [ ( d - r ) * ( d + r ) ] = √ ( d 2 - r 2 )
Ponieważ na wstępie założyliśmy, że r jest dużo mniejsze od d , zatem możemy powyższy wzór przepisać w uproszczonej postaci :      d S = √ ( d 2 ) = d
Zatem niezależnie od tego, jaki rodzaj uśredniania obierzemy, średnia odległość źródła huku ( źródła wybuchu ) od ściany bocznej wynosi d . Korzystając z tego uśrednienia możemy uznać, że fala akustyczna po pierwszym odbiciu przebywa drogę 2 d ; po drugim odbiciu odbywa drogę 4 d , ponieważ dodatkowo musi przebyć odległość pomiędzy ścianami równą :   l = 2 * d . Zatem p n - krotnym odbiciu fala akustyczna przebywa drogę   2 * n * d . Natężenie fali po n-krotnym odbiciu wyniesie : 
Nas interesuje jednak szczególna wartość liczby odbić n - taka, po której natężenie spada do wartości progowej. Wzór powyższy możemy zatem przepisać w postaci : 
Jednak moc akustyczna W nie jest nam dana bezpośrednio ; zakładamy, że strzelec - obserwator trzyma w drugim ręku ( przyciśniętym do piersi ) mały i poręczny sonometr, którym mierzy poziom natężenia huku "bezpośredniego". Zatem na podstawie pomiaru tego poziomu natężenia natężenie "bezpośrednie" I b   możemy wyrazić następująco : 
Wielkość tego natężenia 'bezpośredniego' wstawiamy ( po przemnożeniu przez 4 π r 2 ! ) zamiast mocy W do wzoru opisującego natężenie fali akustycznej po n-krotnym odbiciu. 
Obie strony powyższej równości możemy podzielić przez I 0 uzyskując : 
Ze wzoru powyższego możemy wyznaczyć krytyczną wartość n liczby odbić : 
Jednak nie zawsze natężenie progowe jest równe I 0 ; tak jest dla słuchaczy ze zdrowym słuchem i dla tonów o częstotliwościach pomiędzy 1000 [ Hz ] a 3000 [ Hz ]. Próg słyszenia dla tonów bardzo niskich i bardzo wysokich jest dużo wyższy niż wynikałoby to z wartości I 0 ; zależność progu słyszenia obrazuje tzw. krzywa progowa będąca szczególnym przypadkiem tzw. krzywych równej głośnosci : 
Dolna, najniższa z rodziny tych krzywych jest właśnie krzywą progową. Z przebiegu tej krzywej wynika, że dla tonów o częstotliwościach rzędu kilkudziesięciu [ Hz ] poziom ich progu słyszenia jest rzędu około 40 [ dB } ; natomiast dla tonów o częstotliwościach w okolicach 10 [ kHz ] poziom tego progu jest rzędu około 10 [ dB ]. Należy zatem zmodyfikować wyprowadzenie wzoru na graniczną liczbę odbić : 
Znajdująca się w liczniku wykładnika liczby 10 ( stojącej po prawej stronie znaku równości ) wielkość L p stanowi właśnie poziom progu słyszenia ; poziom ten odczytuje się bądź w krzywej progowej bądź wyznacza się w toku badań audiometrycznych ( w przypadku podejrzenia wystąpień uszkodzeń słuchu ). Wzór powyższy możemy poddać dalszym przekształceniom : 
Ponieważ szerokość "kanionu" czy korytarza l jest dwukrotnie większa od odległości obserwatora od ścian bocznych d , zatem możemy napisać : 
Ze wzoru tego możemy wyznaczyć całkowity czas trwania tego zjawiska, mnożąc liczbę odbić przez czas przelotu fali akustycznej pomiędzy kolejnymi odbiciami. Ten czas przelotu powinien być nie mniejszy niż 0.1 [ s ], aby dało się usłyszeć poszczególne odbicia. Czas przelotu możemu oszacować jako :      Δ t = 2 * d ⁄ c = l ⁄ c
Zatem całkowity czas trwania efektu flutter da się wyrazić wzorem : 
Zjawisko echa trzepoczącego może mieć znaczenie dla protetyków słuchu zajmujących się osobami, które jednocześnie niedowidzą i niedosłyszą. Załóżmy, że osoby takie wpierw straciły wzrok, a dopiero po upływie dłuższego czasu zaczął im się pogarszać słuch. W okresie, kiedy ich słuch funkcjonował dobrze, osoby takie nauczyły się wykorzystywać zjawisko echa trzepoczącego do orientacji w najbliższym otoczeniu, np. nauczyły się kojarzyć szerokość korytarza z liczbą ech ( nauczyły się tego wyłącznie w empiryczny sposób ). W miarę pogarszania się słuchu liczba spostrzeganych ech zaczyna maleć mimo, że szerokość korytarza nie uległa zmianie. Może to sprzyjać dezorientacji takich osób w dotychczas im znanym otoczeniu.