Wstępny przegląd pojęć   Przed przystąpieniem do budowy domu lub statku ( jachtu ) należy w jednym miejscu zgromadzić niezbędne do przeprowadzenia tej budowy materiały oraz elementy wyposażenia. Podobnie podchodząc do sprawy wstępnie wyodrębnimy zagadnienia, które w praktyce traktowane są łącznie w trakcie obliczania granic ciągów czy funkcji. Oto zestaw zagadnień potraktowanych na wstępie oddzielnie :
  1.   Nieskończoność i jej właściwości
  2.   Liczby niewymierne
  3.   Ciągi i szeregi, ich przydatnośc przy obliczaniu niektórych szczególnych liczb
  4.   Połączenie zagadnień ciągów i liczb niewymiernych - pole powierzchni okręgu


 

        Nieskończoność i niektóre z jej właściwości

  Na temat nieskończoności na przestrzeni wieków prowadzili rozważania rozmaici myśliciele :

  http://www.pg.gda.pl/~mrucka/pierwiastek/esej_filo.pdf

  Najwięcej do współczesnego rozumienia nieskończoności wniósł średniowieczny filozof, teolog i matematyk w jednej osobie, Mikołaj z Kuzy ( zwany też Mikołajem Kuzańczykiem ) :


  Mikołaj z Kuzy jako pierwszy zauważył, że obiekt o nieskończonych rozmiarach nie ma żadnego środka ( tzn. że każdy punkt leżący wewnątrz takiego obiektu może być uznany za jego środek ).


  W przypadku takich programów matematycznych, jak Matlab czy SysQuake istnieje symbol Inf , który oznacza liczbę nieskończenie dużą. Warto zainstalować darmowy program SysQuake i poeksperymentować trochę z nieskończonością, np. dodawać jakieś liczby do nieskończoności, odejmować jakieś liczby od nieskończoności, mnożyć lub dzielić nieskończoność przez jakąs liczbę, dzielić jakąś liczbę przez nieskończoność, dzielić jakąś liczbę przez zero, logarytmować nieskończoność, podnosić nieskończoność do kwadratu lub do wyższej potęgi, itp.


 

        Liczby niewymierne   Istnienie liczb niewymiernych najłatwiej wykryć metodą "geometryczną" : jeżeli na średnicy okręgu odłożymy pewną całkowitą liczbę odcinków o pewnej długości ( np. przy wykorzystaniu cyrkla pomiarowego ), to nie uda się odłożyć całkowitej liczby odcinków ( przy zachowaniu tego samego rozstawu nóżek cyrkla pomiarowego ! ) na samym okręgu. Podobnie jezeli zbudujemy ( wykreślimy ) kwadrat i na jego boku odłożymy całkowitą liczbę jakichs odcinków, to nie uda się odłożyć całkowitej liczby tych samych odcinków na przekątnej tego kwadratu. Innymi słowy, stosunek długości okręgu do jego średnicy wyraża się pewną liczbą niewymierną, tak samo stosunek długości przekątnej kwadratu do długości jego boku również wyraża się liczbą niewymierną, choć inną niż w przypadku okręgu. Pierwsza z tych liczb ( stosunek długości obwodu okręgu do jego średnicy ) to liczba π ; druga z tych liczb to √ 2 . Z liczbami takimi postępujemy podobnie jak z owadami - szkodnikami, które grasują w naszym ogrodzie. W przypadku owych owadzich szkodników nie musimy znać ich dokładnej lokalizacji ( tzw. nie musimy wiedzieć, który z nich siedzi pod którym liściem którego krzaczka ), wystarczy, że wiemy, że te owady - szkodniki znajdują się w pewnym określonym, a zarazem ograniczonym obszarze ( tj. właśnie w naszym ogrodzie ), aby móc skutecznie zastosować owadobójcze środki chemiczne. Podobnie ma się sprawa z liczbami niewymiernymi ; nie trzeba znać ich "najdokładniejszej" wartości ( która i tak jest nieosiągalna ), ale wystarczy wiedzieć, gdzie i jak ich szukać. Jeśli chodzi o sposób szukania takich liczb, to dobrze będzie, jeśli taka liczba niewymierna da się określic jako granica pewnego ciągu lub szeregu.


 

        Ciągi i szeregi   Pojęcia ciągów i szeregów należy traktować łącznie, ponieważ szereg stanowi pewną sumę ( skończoną lub nieskończoną ) wyrazów pewnego ciągu, natomiast uporządkowany zbiór wartości skończonych sum częściowych pewnego szeregu może być traktowany jako pewien nowy ciąg :

  Przykładowy ciąg sum częściowych pewnego szeregu

  Pierwiastek kwadratowy z dowolnej liczby rzeczywistej może być traktowany jako granica pewnego ciągu ; taki sposób obliczania pierwiastka kwadratowego to tzw. algorytm Herona . W praktyce obliczeń z wykorzystaniem algorytmu Herona , im wyższy ( im dalszy ) wyraz owego ciągu, tym dokładniejszą wartość pierwiastka kwadratowego otrzymujemy.
  Również liczba π może być obliczana jako suma pewnego szeregu. Taki sposób obliczania liczby pi zaproponował już w XV wieku hinduski matematyk Madhava . Obecnie ten sposób jest znany jako wzór Leibniza ; oprócz nniego istnieje jeszcze np. tzw. wzór Eulera ; zestawienie tych wszystkich wzorów można znaleźć na stronie WWW :

  http://www.definicja.com/Pi


  Oczywiście wstępnym warunkiem sprawdzenia przydatności jakiegokolwiek ciągu lub szeregu do przeprowadzania takich obliczeń jest zbadanie jego zbieżności.


  Kryteria zbieżności omówione są na następującej stronie WWW :

  http://pl.wikipedia.org/wiki/Kryteria_zbie%C5%BCno%C5%9Bci_szereg%C3%B3w



 

        Geometryczny przykład zastosowania twierdzenia o trzech ciągach   Załóżmy, że szacujemy jednocześnie zarówno "od dołu", jak i "od góry" pole powierzchni okręgu, w który wpisany jest pewien wielokąt foremny , jak i na którym opisany jest wielokąt foremny tego samego rodzaju ( np. trójkąt równoboczny, kwadrat, itp. ) ; szacujemy pole zarówno wielokąta wpisanego ( szacowanie "od dołu" ), jaki pole wielokąta opisanego ( szacowanie "od góry" ) ; "prawdziwe" pole powierzchni okręgu powinno zawierać się między tymi dwiema wielkościami.
  Przeanalizujmy dwa przypadki takiego "zawierania się" pomiędzy polami dwóch wielokątów foremnych : pomiędzy polami trojkątów równobocznych oraz pomiędzy polami sześciokątów foremnych ( czyli wielokątów o podwojonej liczbie boków w stosunku do trójkątów równobocznych ) :
 
Pole powierzchni trójkąta wpisanego Pole powierzchni okręgu Pole powierzchni trójkąta opisanego
¾ √ 3 R 2 π R 2 3 √ 3 R 2
1.2991 R 2 3.416 R 2 5.1962 R 2

 
Pole powierzchni sześciokąta wpisanego Pole powierzchni okręgu Pole powierzchni sześciokąta opisanego
( 3 / 2 ) √ 3 R 2 π R 2 2 √ 3 R 2
2.5981 R 2 3.416 R 2 3.4641 R 2

  Zatem w miarę wzrostu liczby boków wielokąta foremnego "zacieśniamy" ( zawężamy ) przedział, w którym "ma prawo" znaleźć się pole powierzchni okręgu. Zatem przy wzroście liczby boków wielokąta do nieskończoności zarówno pole wielokąta wpisanego, jak i pole wielokąta opisanego zmierzają do tej samej wartości, która jest zarazem polem powierzchni okręgu umieszczonego pomiędzy tymi wielokątami. Taki jest sens geometrycznej interpretacji twierdzenia o trzech ciągach odniesionego do analizy przypadku okręgu "uwięzionego" pomiędzy dwoma wielokątami foremnymi ( tego samego rodzaju ).