Dotychczas rozpatrywano falę akustyczną propagującą się w jednorodnym środowisku. Zatem w dotychczasowych rozważaniach
impedancja akustyczna pełniła jedynie rolę "przelicznika" służącego do przechodzenia od ciśnienia akustycznego do prędkości
cząstki akustycznej w jej ruchu drgającym lub do przechodzenia od natężenia fali akustycznej do kwadratu ciśnienia akustycznego.
Pora teraz na zastanowienie się na zespołem zjawisk towarzyszących przechodzeniu fali akustycznej z jednego ośrodka do drugiego,
tj. przechodzeniu fali z ośrodka o gęstości ρ 1 do ośrodka o gęstości ρ 2 ,
a zarazem z ośrodka o prędkości propagacji fal akustycznych c 1 do ośrodka o prędkości propagacji c 2 ;
innymi słowy chodzi o przejście fali akustycznej z ośrodka o impedancji akustycznej Z 1 do ośrodka o impedancji akustycznej Z 2 .
Postaramy się wykazać w dalszej części rozważań, że przy takim przechodzeniu tylko część energii fali akustycznej przeniknie do drugiego ośrodka, a natomiast pozostała jej część zostanie odbita od
granicy dwóch ośrodków. Aby to wykazać, zauważmy, że na granicy dwóch ośrodków rozedrgane cząstki akustyczne jednego ośrodka przekazują swój pęd ( dotąd niedrgającym ) cząstkom akustycznym drugiego
ośrodka. Wystarczy zatem odwołać się do zasady zachowania pędu .
Na początek wykorzystamy zasadę zachowania pędu do wyznaczenie jeszcze innego wzoru opisującego impedancję akustyczną . Załózmy, że analizujemy falę płaską ( propagującą się np. we falowodzie akustycznym ).
Przyjmijmy, że w bardzo krótkim interwale czasu Δ t ( równym np. ¼ okresu lub jeszcze mniej ) "płaska" cząstka akustyczna przesuwa się o Δ x ; przy czym wielkość owego przesunięcia
jest wprost proporcjonalna do długości interwału czasu :
Δ x = c * Δ t
Możemy zatem uznać, że w tak krótkim interwale czasu owa rozpatrywana cząstka akustyczna porusza się ruchem "quasi-jednostajnym" ( tj. ze zerowym przyspieszeniem ). Zmiana pędu owej cząstki akustycznej będzie zatem
proporcjonalna do siły działającej na ową cząstkę akustyczną. Te przyjęte założenia i przeprowadzone w konsekwencji ich przyjęcia przekształcenia prowadzą do następującego ciągu wzorów generującego w ostatecznej postaci
inne wyrażenie opisujące impedancję akustyczną :
W ogólnym przypadku ( np. przypadku przekazywania pędu pomiędzy cząstkami akustycznymi znajdującymi się w różnych ośrodkach propagacji ) z tą zasadą zachowania pędu koresponduje zasada zachowania energii kinetycznej.
Na podstawie obu tych zasad "zachowawczych" można ułożyć układ równań charakteryzujących tzw.
centralne zderzenie sprężyste :
Pierwsze z dwóch równań jest właśnie równaniem opisującym bilans zachowanych pędów ; drugie z rówań opisuje bilans zachowanych energii kinetycznych.
Prędkości u 1 oraz u 2 są prędkościami obu ciał przed zderzeniem ; natomiast prędkości
v 1 oraz v 2 są prędkościami obu ciał po zderzeniu. Z układu tych dwóch równań można
wyliczyć wartości obu prędkości "po zderzeniu" :
W naszym przypadku uznajemy, że cząstki akustycznego drugiego z ośrodków pozostają początkowo nieruchome, zatem w powyższych wzorach należy przyjąć, że u 2 jest równe zeru.
Otrzymamy wówczas parę następujących wzorów opisujących prędkości po zderzeniu i przekazaniu pędów :
Analizując powyższe równania proszę zwrócić uwagę na sytuację szczególną, tj. sytuację równości obydwu mas m 1 = m 2 ;
wówczas v 1 = 0 oraz v 2 = u 1 . Oznacza to, że ciało uderzające zatrzymuje się po uderzeniu, a ciało
uderzone ( poprzednio nieruchome ) biegnie po uderzeniu z prędkością równą poprzedniej prędkości ciałą uderzającego.
Poniższa animacja ilustruje mechanizm odbijania się fal akustycznych :
http://faraday.physics.utoronto.ca/IYearLab/Intros/StandingWaves/Flash/reflect.html
W przypadku ukośnego padania fal akustycznych na powierzchnię ( płaszczyznę ) odbijającą trzeba uwzględnić regułę mówiącą, że kąt odbicia równa się kątowi padania ( tj. co do wartości bezwzględnej lub po
uwzględnieniu redukcji do pierwszej ćwiartki ). Przy ukośnym padaniu fal akustycznych prędkość cząstek akustycznych można rozłożyć na dwie składowe : na prostopadłą do powierzchni odbijającej i na równoległą do
powierzchni odbijającej. Można uznać, że składowa równoległa nie ulega żadnym zmianom ( zakładamy, że nie uwzględniamy ewentualnego tarcia cząstek akustycznych o powierzchnię odbijającą ). Można natomiast
wykazać, że składowa prostopadła zmienia zwrot na przeciwny. Wystarczy przyjąć założenie, że ośrodek odbijający jest o wiele bardziej "masywny", tj. posiada dużo większą gęstość niż ośrodek, w którym propaguje się
padająca ukośnie na przeszkodę fala akustyczna. Przyjęcie takiego założenia upoważnia do dokonania "przejścia granicznego" w jednym z powyższych wzorów :
Ponieważ rozpatrywana w tym rozdziale fala akustyczna jest falą podłużną, zatem wektor prędkości propagacji c jest równoległy do wektora wypadkowej prędkości drgań cząstki akustycznej v .
Do tego wypadkowego wektora prędkości drgań cząstki akustycznej v jest również równoległy wektor natężenia fali I . Wynika stąd, że można uznać, że kierunek propagacji fali odbitej wyznacza zwrot
wypadkowego wektora prędkości drgań cząstki akustycznej v . Przyjmijmy przy tym konwencję, że za kąt padania fali akustycznej uznajemy kąt pomiędzy wektorem prędkości cząstki akustycznej ( wektorem prędkości
propagacji lub wektorem natężenia ) a prostą prostopadłą do płaszczyzny odbijającej. Przyjmujmy również konwencję dodatkową mowiącą, że kąt ten uznajemy za dodatni, jeśli wektor wyznaczający kierunek propagacji ( kierunek
padania ) znajduje się z "prawej" strony owej prostej prostopadłej ; natomiast kąt ów uznajemy za ujemny, jeśli wektor wypadkowej prędkości wyznaczający kierunek propagacji znajduje się z "lewej" strony owej prostej
prostopadłej. Wartość owego kąta może być wyznaczana jako arcus tangens stosunku składowej "równoległej" prędkości do składowej "prostopadłej". Ponieważ przy odbiciu jedynie składowa "prostopadła" prędkości
zmienia znak, zatem zmienia znak również ów arcus tangens , a tym samym zmienia znak kąt odbicia ( względem kąta padania ), ponieważ funkcja arcus tangens jest funkcją nieparzystą. Zostaje natomiast
zachowana wartość bezwględna owego kąta, czyli zostaje potwierdzone tym samym prawo głoszące, że "kąt odbicia równa się kątowi padania" ( co do wartości bezwzględnej owych kątów ).
Ciśnieniowy współczynnik odbicia i ciśnieniowy współczynnik pochłaniania ( transmisji )
Ciśnieniowy współczynnik odbicia β można zdefiniować jako stosunek ciśnienia akustycznego ( np. skutecznego ) fali odbitej do ciśnienia akustycznego ( również skutecznego ) fali biegnącej w stronę granicy dwóch ośrodków :
β = p r ⁄ p s
( gdzie p r jest ciśnieniem akustycznym fali odbitej od granicy dwóch ośrodków, natomiast p s jest ciśnieniem akustycznym fali "nadanej", tj. biegnącej w stronę granicy dwóch ośrodków. )
Ponieważ zarówno fala "nadana", jak i fala odbita propagują się w tym samym ośrodku o impedancji akustycznej Z zatem stosunek dwóch ciśnień akustycznych możemy zastąpić stosunkiem dwóch prędkości akustycznych :
p r ⁄ p s = v 1 ⁄ u 1
Mając stosunek dwóch prędkości można teraz sięgnąć do wzoru wyprowadzonego w oparciu o zasadę zachowania pędu :
Należy teraz umieć wyrazić masy obu cząstek akustycznych : "napędowej" i uderzanej. Obie masy możemy oszacować jako iloczyny każdego z ośrodków przez objętości "zamiecione" np. podczas jednego cyklu ruchu w każdym z tych dwóch ośrodków :
m 1 = ρ 1 * S * Δ x 1
m 2 = ρ 2 * S * Δ x 2
gdzie S jest polem powierzchni ( np. jednostkowym ) pewnego rozpatrywanego fragmentu powierzchni fazowej, natomiast Δ x 1 oraz Δ x 2 są odległościami,
na jakie "zapędzi" się powierzchnia fazowa ( albo przynajmniej wspomniany jej fragment ) w przedziale czasu Δ t ( może to być np. połówka okresu, bo wówczas posuwająca się powierzchnia fazowa najbardziej "zagęści" ośrodek ).
Inny słowy traktujemy ów fragment powierzchni fazowej jako powierzchnię "tłoka", który uderza w granicę dwóch ośrodków i przekazuje dalej ( do drugiego ośrodka ) pęd oraz energię kinetyczną.
Zatem obie masy możemy wyrazić w jeszcze inny sposób :
m 1 = ρ 1 * S * c 1 * Δ t
m 2 = ρ 2 * S * c 2 * Δ t
Obie wyliczone wartości mas podstawiamy teraz do wzoru na współczynnik odbicia β :
Licznik i mianownik powyższego wzoru mogę uprościć przez iloczyn S * Δ t uzyskując :
Pamiętając, że iloczyn gęstości ρ oraz prędkości propagacji c ma sens impedancji akustycznej ( w przypadku fal płaskich ), dlatego powyższy wzór możemy zapisać w
postaci uogólnionej :
Z powyższego wzoru wynika, że jeśli oba ośrodki mają identyczną impedancję, tj. kiedy Z 1 = Z 2 , to wówczas współczynnik
odbicia β jest równy zeru, tzn. fala akustyczna przenika wówczas z jednego ośrodka do drugiego bez żadnych odbić.
Pora teraz zająć się porcją energii akustycznej, która wnika do drugiego ośrodka i albo zostanie w tym ośrodku pochłonięta albo propaguje się nadal w tym ośrodku wychodząc gdzieś "na zewnątrz" w innym miejscu.
Możemy zdefiniować "współczynnik pochłaniania ( transmisji )" α jako stosunek ciśnienia akustycznego fali, która wniknęła do drugiego ośrodka, p t do ciśnienia akustycznego fali "nadanej" ( biegnącej od źródła w stronę granicy dwóch ośrodków ) p s :
Powyższy wzór prezentuje zarazem współczynnik pochłaniania ( transmisji ) jako stosunek dwóch prędkości akustycznych : prędkości cząstki akustycznej w drugim ośrodku ( tj.w tym, do którego wniknęła fala
akustyczna ) v 2 do prędkości cząstki akustycznej we fali "nadanej" u 1 .
Z kolei stosunek obu prędkości możemy wyrazić poprzez stosunek odpowiednich mas korzystając ze zasady zachowania pędu :
Korzystając z poprzedniego sposobu postępowania możemy masy pozastępować odpowiednimi impedancjami akustycznymi, a ponadto korzystając ze wzoru jeszcze wcześniejszego, możemy napisać :
Pamietając o tym, że iloczyn gęstości ośrodka i prędkości propagacji fali akustycznej stanowi impedancję akustyczną ośrodka ( dla fali płaskiej ! ) możemy wzór powyższy zapisać w postaci uogólnionej :
Ze wzoru w powyższej postaci wynikają dwie istotne konsekwencje :
- Współczynnik α staje się równy zeru, kiedy Z 2 = 0, tzn. gdy ρ 2 jest równe zeru
- Współczynnik α staje się równy jedności, kiedy Z 1 = Z 2 , tzn. gdy obie impedancje są sobie równe
Z pierwszego z tych spostrzeżeń wynika fakt, że fala akustyczna nie może wnikać do obszaru, który jest próżnią ( bo wówczas ρ 2 = 0 ) ; z drugiego spotrzeżenia wynika fakt, że w przypadku
równej impedancji akustycznej dwóch sąsiadujących ze sobą ośrodków, fala akustyczna przenika z jednego z nich do drugiego bez żadnych odbić i bez żadnych strat energii.
Natężeniowy współczynnik odbicia i natężeniowy współczynnik pochłaniania ( transmisji )
Natężeniowy współczynnik odbicia można zdefiniować jako stosunek natężenia fali odbitej ( od granicy dwóch ośrodków ) do natężenia fali padającej ( fali "nadanej" ) :
( gdzie I r jest natężeniem fali odbitej , natomiast I s jest natężeniem fali padającej ( na granicę dwóch ośrodków ) ; te same oznaczenia odnoszą się do ciśnień. )
Zatem z rozwinięcia powyższego wzoru wynika, że natężeniowy współczynnik odbicia równy jest ciśnieniowemu współczynnikowi odbicia podniesionemu do kwadratu.
Analogicznie można zdefiniować natężeniowy współczynnik pochłaniania ( transmisji ) jako stosunek natężenia fali, która wniknęła wgłąb drugiego z ośrodków, do natężenia fali "padającej", tj. wyemitowanej przez źródło i biegnącej w stronę granicy dwóch ośrodków.
Ponieważ wgłąb drugiego ośrodka propaguje się tylko ta część energii fali 'padającej', która nie została odbita, zatem suma natężęń fali "penetrującej" drugi ośrodek i fali odbitej powinna być równa natężeniu fali padającej ; wynika to ze zasady zachowania energii.
Wynika z tego dalej, że suma natężeniowego współczynnika pochłaniania ( transmisji ) i natężeniowego współczynnika odbicia powinna być równa jedności :
α I + β I = 1
Na podstawie tego wzoru "jedynkowego" możemy wyznaczyć natężeniowy współczynnik pochłaniania ( transmisji ) :
Po sprowadzeniu wyrażenia z prawej strony do wspólnej kreski ułamkowej i po wykonaniu odejmowania uzyskamy :
Ze wzoru owego wynika, że w przypadku równości obydwu impedancji ( tzn. kiedy Z 1 = Z 2 ), natężeniowy współczynnik odbicia staje się równy zeru, natomiast natężeniowy współczynnik
pochłaniania ( transmisji ) staje się równy jedności ; oznacza to, że energia fali akustycznej przenika bez żadnych odbić wgłąb drugiego ośrodka.
Również mamy do czynienia ze szczególnym przypadkiem w sytuacji, kiedy fala akustyczna usiłuje wniknąć do ośrodka o nieskończenie dużej impedancji, tzn. kiedy Z 2 → ∞
Te przejścia graniczne obrazują poniższe wzory :
Z obu wzorów wynika, że natężeniowy współczynnik pochłaniania ( trasnmisji ) α I dąży wówczas do zera ; natomiast natężeniowy współczynnik odbicia β I dąży wówczas do jedności.
Zatem przy znacznym zróżnicowaniu impedancji dwóch ośrodków fala akustyczna biegnąca w stronę granicy tych ośrodków ulega prawie całkowitemu odbiciu na tej granicy.
Rola warstwy pośredniej o pośredniej wartości impedancji
Załóżmy, że mamy do czynienia z trzema warstwami o impedancjach : Z 1 , Z p oraz Z 2 , przy czym wartości impedancji owych trzech warstw uporządkowane są w sposób następujący :
Z 1 < Z p < Z 2
Nasuwa się w tym miejscu pytanie : jaki będzie współczynnik transmisji ( pochłaniania ), jeżeli warstwę o impedancji pośredniej Z p umieścimy pomiędzy warstwami o skrajnych wartościach impedancji akustycznej,
a jaką ów współczynnik przyjmie wartość, jeżeli zrezygnujemy z obecności owej warstwy pośredniej i obie warstwy o skrajnych wartościach impedancji będą się stykać ze sobą bezpośrednio.
Postaramy się wykazać, że w tym drugim przypadku współczynnik transmisji ( pochłaniania ) będzie mniejszy ; innymi słowy, postaramy się wykazać, że obecność warstwy "pośredniej" o pośredniej wartości impedancji polepsza transmisję wgłąb drugiego ośrodka i sprawia, że wartość wypadkowego współczynnika transmisji staje się większa przy uwzględnieniu owej impedancji pośredniej.
W sytuacji nieobecności warstwy "pośredniej", kiedy obie warstwy o skrajnych wartościach impedancji stykają się ze sobą bezpośrednio, natężeniowy współczynnik transmisji wyrazi się wzorem "klasycznym" :
Natomiast kiedy pomiędzy obie warstwy "skrajne" wstawimy trzecią warstwę pośrednią o pośredniej wartości impedancji, wówczas wypadkowy współczynnik transmisji wyrazi się wzorem następującym :
Postaramy się teraz wykazać, że współczynnik α 1 < α 2 .
W tym celu posłużymy się tzw. nierównością Czebyszewa ; chodzi tutaj o "algebraiczną nierówność Czebyszewa", a nie o wiele bardziej znaną "probabilistyczną nierówność Czebyszewa ;
owa algebraiczna nierówność Czebyszewa wynika wprost z tzw. tożsamości Czebyszewa.
Stosując ową "nierówność Czebyszewa" do ciągu trzech uporządkowanych ( w porządku rosnącym lub malejącym ) wartości impedancji możemy napisać :
2 * ( Z 1 Z p + Z p Z 2 ) > ( Z 1 + Z p ) * ( Z p + Z 2 )
Z wyrażenia po lewej stronie nierówności możemy wyłączyć Z p uzyskując :
2 * Z p * ( Z 1 + Z 2 ) > ( Z 1 + Z p ) * ( Z p + Z 2 )
Wstawmy teraz tę ostatnią nierówność do wzoru opisującego wypadkowy współczynnik transmisji jako iloczyn dwóch 'składowych' współczynników transmisji :
Rozwińmy teraz mianownik prawej strony powyższej nierówności :
Uprośćmy teraz licznik i mianownik wyrażenia po prawej stronie uzyskanej nierówności :
Lewy składnik powyższej nierówności określa wypadkowy współczynnik transmisji α 2 ; natomiast prawy składnik powyższej nierówności określa "bezpośredni" współczynnik
transmisji α 1 . Zatem ostatnia nierówność potwierdza, że :
α 2 > α 1
Zatem obecność warstwy pośredniej o pośredniej wartości impedancji powiększa wartość wypadkowego współczynnika transmisji. Celowo przeprowadzony proces dodawania warstw "pośredniczących" o pośrednich wartościach
impedancji nosi nazwę "dopasowania impedancji". Najbardziej znanym urządzeniem dopasowującym impedancję akustyczną jest tzw. tuba akustyczna .
Przepływem powietrza ( lub innego ośrodka ) przez tubę o zmiennym przekroju rządzi tzw. prawo ciągłości przepływu ; prawo mówi o tym, że niezależnie od aktualnego
pola powierzchni przekroju tuby ( lub innego przepływu ) musi być zachowana objętościowa prędkość przepływu , czyli prędkość przepływu wyrażana w [ m 3 ⁄ s ] .
Z prawa tego wynika wzrost prędkości akustycznej v w miejscach, w których tuba ulega zwężeniu. Wzrost tej prędkości pociąga za sobą z kolei zmianę ciśnienia ( akustycznego ) zgodnie z tzw. prawem Bernouille`go ( omówionym na jednym
z wcześniejszych wykładów ). Wynika z tego, że jeżeli weźmiemy pod uwagę zbiór przekrojów tuby wzdłuż jej osi, to w każdym z tych przekrojów ( w każdej z tych warstw poprzecznych do osi tuby ) będzie inna impedancja akustyczna
( rozumiana jako stosunek lokalnego ciśnienia akustycznego do lokalnej wartości prędkości cząstki akustycznej ).
Możemy nawet posunąć się do stwierdzenia, że wzdłuż tuby będzie istniał gradient impedancji akustycznej.
Oznacza to, że każdy okrągły "plaster", wycięty poprzecznie do osi tuby, będzie miał impedancję pośrednią pomiędzy impedancjami "plastrów" sąsiednich. Oznacza to, że fala wpadająca do tuby akustycznej będzie biec w środowisku, w którym impedancja akustyczna
zmienia się stopniowo i łagodnie. Zatem tuba zapewnia "stuprocentowe", bezodbiciowe przekazywanie energii fali akustycznej z jednego ośrodka do drugiego.
Interferencja fali bezpośredniej i fali odbitej , fala stojąca , piszczałka obustronnie zamknięta
Załóżmy, że fala akustyczna odbija się od przeszkody doskonale odbijającej ( β I = 1 ) i biegnie wzdłuż tej samej prostej, co fala padająca na przeszkodę, ale w przeciwnym kierunku. Innymi słowy : zwroty wektorów
prędkości propagacji i prędkości cząstek akustycznych obu fal są przeciwne. Promienie falowe obu fal leżą na tej samej prostej i w każdym punkcie owej prostej zachodzi interferencja fali "pierwotnej" ( źródłowej ) i odbitej. Wynik tej interferencji zależy
od lokalnej różnicy faz obu fal. Czy potrafimy znaleźć opis matematyczny tego procesu ?
Zacznijmy od wstępnego spostrzeżenia, że inaczej trzeba podejść do tego zagadnienia, gdy rozpatrujemy ciśnienie akustyczne, które jest wielkością skalarną, a inaczej - gdy rozpatrujemy prędkość akustyczną ( prędkość cząstki aksutycznej w jej ruchu drgającym ), która
jest wielkością wektorową. Przy odbiciu się cząstki akustycznej od masywnej i sztywnej ściany następuje zmiana zwrotu jej prędkości na przeciwny. Wynika to wprost ze zasady zachowania pędu ; dlatego warto przypomnieć jeden ze wcześniejszych wzorów w zmienionej postaci :
( gdzie m 1 jest masą ciała uderzającego ; u 1 - prędkość ciała uderzającego przed uderzeniem ; m 2 - masa ciała uderzanego ; v 1 - masa ciała uderzającego po uderzeniu )
Zatem w wyniku uderzenia zwrot prędkości akustycznej zmienia znak na przeciwny, co jest równoważne zmianie fazy drgań cząstki akustycznej o 180 o czyli o π . Fakt ten dodatkowej zmiany fazy prędkości akustycznej musimy uwzględnić przy konstruowaniu wzorów opisujących inteferencję obu fal : "biegnącej" ( od źródła ) i odbitej.
Oto przebieg superpozycji - interferencji dla obu wielkości : ciśnienia akustycznego i prędkości akustycznej :
p 0 sin ( ω t + k * x ) + p 0 sin ( ω t - k * x ) = p 0 * [ sin ω t * cos kx + cos ω t * sin kx + sin ω t * cos kx - cos ω t * sin kx ] = 2 p 0 sin ω t * cos kx
v 0 sin ( ω t + k * x ) - v 0 sin ( ω t - k * x ) = v 0 * [ sin ω t * cos kx + cos ω t * sin kx - sin ω t * cos kx + cos ω t * sin kx ] = 2 v 0 cos ω t * sin kx
( znak odejmowania we wzorze "prędkościowym" wynika z faktu, że uwzględniono zmianę zwrotu wektora prędkości akustycznej we wyniku odbicia. )
We wyniku otrzymujemy nie tyle falę biegnącą, ile drganie, którego amplituda zależy od położenia obserwowanej cząstki akustycznej na wspólnej "osi" obu fal ; amplituda ciśnienia akustycznego zmienia się jak cos k*x ; natomiast amplituda prędkości akustycznej zmienia się jak sin k*x ; przy tym drgania ciśnienia akustycznego
oraz drgania prędkości akustycznej przesunięte są w fazie ( względem siebie ) o π ⁄ 2 . Na tej wspólnej osi wystąpią zatem miejsca, gdzie amplituda ciśnienia akustycznego ( prędkości akustycznej ) przyjmie wartości maksymalne ; takie miejsca nazwiemy "strzałkami" ciśnienia akustycznego ( prędkości akustycznej ).
Na wspólnej osi wystąpią również i takie miejsca, dla których amplituda ciśnienia akustycznego ( bądź prędkości akustycznej ) przyjmie wartości minimalne ( wartość zerową w przypadku idealnego odbicia ) ; takie miejsca nazwiemy "węzłami" ciśnienia akustycznego bądź prędkości akustycznej. Taki rozkład nazywamy "falą stojącą" .
Jeżeli ową falę stojącą wytworzy się między dwiema przeszkodami odbijającymi ( czyli w tzw. "piszczałce obustronnie zamkniętej" ), to w przestrzeni pomiędzy obydwiema płaskimi przeszkodami odbijającymi wytworzy się pewna liczba węzłów i strzałek. W minimalnej wersji uzyskamy dwie strzałki i jeden węzeł ( pośrodku piszczałki ) dla ciśnienia akustycznego ;
bądź dwa węzły i jedną strzałkę ( pośrodku piszczałki ) dla prędkości akustycznej. Taki sposób drgania słupa powietrza ( bądź innego gazu ) w piszczałce obustronnie zamkniętej nazwiemy drganiem podstawowym. Wzdłuż osi piszczałki może pojawić się oczywiście więcej węzłów i strzałek ; takie drgania nazwiemy wówczas harmonicznymi. Obowiązuje wówczas jedna reguła :
najbliższa strzałka ciśnienia akustycznego odległa jest od przeszkody odbijającej o połówkę długości fali ; natomiast najbliższa strzałką prędkości akustycznej odległa jest od przeszkody odbijającej o ćwiartkę długości fali. Wynika to, z faktu, że w przypadku fali ciśnienia dwukrotne przebycie tej samej drogi równej połówce długości fali ( czyli dwukrotnie występujące
podczas przebywania tej drogi opóźnienie fazy o połówkę okresu ) powoduje wypadkowe przesunięcie fazy o okres, czyli obie fale ( biegnąca i odbita ) dodadzą się do siebie w tej samej fazie ( stąd strzałka ciśnienia akustycznego ).
W przypadku rozpatrywania prędkości akustycznej najbliższa strzałka tejże prędkości znajduje się odległości ćwiartki długosci fali od którejś z przeszkód odbijających, ponieważ fala odbita ulega dwukrotnie przesunięciu fazy o połówkę okresu : pierwszy raz w wyniku samego odbicia ( zmiana zwrotu wektora prędkości ) , drugi raz - w wyniku dwukrotnego przebycia drogi równej
ćwiartce długości fali. Jeżeli piszczałka dwustronnie zamknięta drga w trybie ( "modzie" ) podstawowym, to wówczas strzałka prędkości znajduje się dokładnie pośrodku owej piszczałki i jest odległa od każdego z jej domkniętych końców o ćwiartkę długości fali. Zatem cała piszczałka powinna mieć długość l równą połówce długości fali, tzn. l = λ ⁄ 2
Wynika stąd, że λ = 2 * l ; zatem na tej podstawie można wyprowadzić wzór na podstawową częstotliwość rezonansową piszczałki obustronnie zamkniętej :
f r = c ⁄ ( 2 * l )
Wszystko, co dotąd zostało powiedziane, najlepiej zilustrują następujące animacje powstawania fali stojącej :
Do wizualizacji rozkładu ciśnienia akustycznego wzdłuż piszczałki dwukrotnie zamkniętej służy tzw. rura Rubensa .
Rura Rubensa wypełniania jest gazem palnym ( doprowadzanym z butli ) ; a na górnej powierzchni rury wywiercono rząd otworków ( w jednakowych odstępach ). Na jednym z krańców rury umieszcza się głośnik wymuszający
powstanie fali stojącej. Po wytworzeniu się fali stojącej podpala się gaz wydostający się z owych otworków. W miejscach, gdzie jest strzałka ciśnienia, wysokość płomyków jest większa. Wynika to z faktu, że w owych
miejscach większe ( lokalnie ) ciśnienie gazu powoduje wzrost prędkości wypływu gazu przez te otworki ( zgodnie z prawem Poiseuille'a omówionym na jednym z wcześniejszych wykładów ) ; zatem płomyk w owym
miejscu zasilany jest większą ilością gazu wypływającą z otworka w jednostce czasu. Oto widok rury Rubensa już po ustabilizowaniu się fali stojącej :
Inną charakterystyczną piszczałką obustronnie zamkniętą jest tzw. rura Kundta .
Przyrząd o takiej nazwie występuje w dwóch postaciach :
- 1. Demonstracyjnej rury Kundta
- 2. Pomiarowej rury Kundta
Demonstracyjna rura Kundta wykonana jest ze szkła lub z innego przeźroczystego materiału. Dno owej rury ( będącej faktycznie piszczałką obustronnie zamkniętą ) wysypane jest równo
rozłożonym proszkiem, np. drobno zmielonym korkiem lub proszkiem likopodium .
Po wytworzeniu fali stojącej wewnątrz rury Kundta ów miałki, delikatny, drobny i lekki proszek zaczyna układać się w regularnie rozmieszczonych "wydmach".
Wydmy te usypują się w miejscach, w których istnieje węzeł prędkości akustycznej. Po prostu ów proszek jest "zdmuchiwany" z miejsc, w których istnieją strzałki owej prędkości,
do miejsc, w których są węzły prędkości ( po prostu z tych miejsc "węzłowych" nie może być już dalej "zdmuchiwany" ).
Pomiarowa rura Kundta służy do wyznaczania współczynnika pochłaniania różnych materiałów ( np. izolacyjnych ) stosowanych w budownictwie.
Wewnątrz pomiarowej rury Kundta biegnie "przesuwna", wąska rurka, połączona z mikrofonem pomiarowym, stanowiąca tzw. "sondę mikrofonową".
Sonda owa umożliwia lokalny pomiar ciśnienia akustycznego w danym punkcie usytuowanym wzdłuż osi owej rury. Jeden z krańców pomiarowej rury Kundta zamyka się
tarczką wykonaną z badanego materiału. W rurze owej wytwarza się "niedoskonała" fala stojąca, tj. taka fala stojąca, dla której w jej węźle ciśnienia wartość
ciśnienia akustycznego nie spada do zera, natomiast w strzałce ciśnienia wartość ciśnienia akustycznego jest mniejsza od podwojonej amplitudy ciśnienia
akustycznego fali "nadawanej" wgłąb rury Kundta. Na podstawie różnic wartości ciśnienia akustycznego można wnioskować o wartości współczynnik odbicia,
a tym samym - o wartości współczynnika pochłaniania ( sposób rozumowania i ciąg obliczeń będą jednym z tematów ćwiczeń ).
Pomiarowa rura Kundta może być również wykorzystana do wyznaczania prędkości propagacji fali akustycznej ( ponieważ pozwala wyznaczyć długość fali akustycznej ).
Piszczałki otwarte : jednostronnie i dwustronnie
Zastanówmy się, czy mogłaby się wytworzyć fala stojąca i czy mogłoby dojść do zjawiska rezonansu akustycznego
w przypadku, gdyby usunąć jedną z przeszkód zamykających piszczałkę i pozostawić "wolny otwór", tj. gdyby z jednej strony fala akustyczna nie miałaby "od czego" się odbijać ?
Można wykazać, że nawet i w takiej sytuacji może pojawić się rezonans akustyczny przy pewnej określonej częstotliwości.
Postaramy się to wykazać przy wykorzystaniu wyłącznie elementarnej matematyki i przy dopuszczeniu licznych uproszczeń.
Na początek przyjmijmy, że słup powietrza zawarty w takiej jednostronnie otwartej piszczałce zachowuje się podobnie jak drgający układ typu "masa + sprężyna".
W jednym z wcześniejszych wykładów wyprowadzono wzór na częstotliwość drgań własnych ( częstotliwość rezonansową ) takiego układu :
ω = √ ( k ⁄ m )
( gdzie k jest współczynnikiem sprężystości drgającej sprężyny, natomiast m jest masą drgającego ciężarka )
Przyjmijmy zatem, że część słupa powietrza w piszczałce ( ta bliższa otwartego końca ) stanowi drgającą masę m ; natomiast pozostała część słupa powietrza ( ta bliższa zamkniętego końca
piszczałki ) stanowi 'sprężynę' o współczynniku sprężystości k .
Nasuwa się w tym miejscu pytanie : czy takie założenie jest dopuszczalne ?
Wydaje się to absurdalne, aby jedną część owej piszczałki "jednostronnej", napełnioną niewidocznym i ultralekkim gazem ( np. powietrzem ) uznać za oscylującą masą ; natomiast
pozostałą część tej piszczałki, napełnioną również niewidocznym i bardzo "miękkim" gazem, uznać za okresowo ściskaną i rozciąganą sprężynę. Aby się przekonać, że takie traktowanie arbitralnie
wydzielonych części piszczałki jest dopuszczalne, zajrzyjmy do świata rozwiązań technicznych. Na jednym z wcześniejszych wykładów wspomniano o dziwacznej konstrukcji, jaką był parowówz elektryczny ,
kursujący w latach dwudziestych ubiegłego wieku na liniach kolejowych Szwajcarii. Okazuje się, że w owych latach dwudziestych pojawiało się więcej "dziwolągów parowozowych".
W Niemczech w owym czasie prowadzono próby z lokomotywą "spalinowo-pneumatyczną". Podwoziem owej lokomotywy było podwozie parowozu wraz z układem jezdnym i napędowym. Jednak silniki parowe owej lokomotywy
nie były zasilane parą, lecz sprężonym powietrzem. Zamiast kotła parowego na podwoziu osadzono sprężarkę napędzaną potężnym silnikiem Diesla ( takim samym, jakie stosowano na ówczesnych okrętach podwodnych ).
Bliżej o tym oryginalnym rozwiązaniu mówi następująca strona internetowa :
http://www.aqpl43.dsl.pipex.com/MUSEUM/LOCOLOCO/diesair/diesair.htm
Nie wiadomo, czy w konstrukcji tej lokomotywy jakieś zbiorniki sprężonego powietrza pośredniczyły w drodze owego sprężonego powietrza pomiędzy sprężąrką a silnikami jezdnymi umieszczonymi w podwoziu.
Jeżeli tak, to lokomotywa taka mogła przejechać jeszcze jakiś odcinek po wyłączeniu silnika spalinowego. Jeżeli nie, to możemy sięgnąć do przykładu innych pojazdów napędzanych sprężonym powietrzem, np
do współczesnego samochodu pneumatycznego lub do tramwaju pneumatycznego
systemu Mękarskiego, który kursował ulicami Paryża przed ponad stu laty. W tych wszystkich pojazdach pneumatycznych energia sprężonego powietrza zgromadzona w odpowiednich zbiornikach napędzała owe pojazdy podobnie jak energia zgromadzona w nakręconej sprężynie
napędza dziecinny samochodzik - zabawkę. Powietrze ściśnięte w pewnej przestrzeni może więc pełnić taką samą rolę, jak sprężyna. Czy owo ściśnięte lub sprężone powietrze można traktować jako element obdarzony masą ?
Gdyby w tych wszystkich pojazdach pneumatycznych ( lokomotywach, samochodach czy tramwajach ) zastosować obieg zamknięty gazu roboczego i zamiast powietrza użyć jakiegoś gazu ultralekkiego ( np. sprężonego helu czy wodoru ), to sprawność takiego napędu radykalnie by zmalała.
Dla sprawnego działania napędów pneumatycznych ważna jest również masa rozprężającego się gazu, który podczas tego rozprężania uderza w tłoki silnika ( gaz zupełnie "nieważki" nie poruszyłby tłoków ).
W owej lokomotywie "spalinowo-pneumatycznej" powietrze służyło do przekazywania napędu ( do przekazywania mocy ) od głównego silnika Diesla do silników jezdnych w podwoziu owej lokomotywy podobnie jak mogłyby służyć kołą zębate, tryby,
więzary czy inne korbowody wykonane z twardego i litego materiału. Przykłady te chyba przekonały, że dopuszczalne jest traktowanie pewnego fragmentu słupa powietrza jako elementu obdarzonego masą oraz traktowanie innego fragmentu słupa
powietrza jako elementu posiadającego cechy i właściwości sprężyny.
Można zatem przejść do sformalizowanego, acz uproszczonego ( w oparciu wyłącznie o matematykę elementarną ) wyprowadzenia wzoru na podstawową częstotliwość rezonansową piszczałki jednostronnie otwartej.
Przyjmijmy zatem, że część słupa powietrza zwartego w piszczałce jednostronnie otwartej lub ( jak kto woli ) jednostronnie zamkniętej stanowi drgającą masę ; natomiast pozostała część ( ta bliższa zamkniętego końca piszczałki )
stanowi okresowo rozciąganą i ściskaną sprężynę. Niech objętość części "sprężynowej" V S stanowi pewien ułamek ogólnej objętości piszczałki jednostronnie otwartej :
V S = w * V
Oczywiście ten sam współczynnik proporcjonalności ( 0 < w < 1 ) odnosi się również do relacji pomiędzy długością części "sprężynowej" piszczałki a całkowitą długością piszczałki :
l S = w * l
Niech niesłychanie cienka warstwa graniczna pomiędzy obydwiema połówkami przesuwa się podczas drgań słupa powietrza o Δ x ; spróbujmy na tej podstawie oszacować współczynnik sprężystości k :
k = F ⁄ Δ x = S * Δ p ⁄ x
( gdzie Δ p jest przyrostem ciśnienia powietrza w "sprężynowej" połówce objętości piszczałki - przyrostem wywołanym przesunięciem warstwy granicznej o polu powierzchni S o odcinek Δ x )
Ów przyrost ciśnienia należy oszacować na podstawie uniwersalnego prawa przemiany gazu doskonałego, tj. prawa opisującego przemianę adiabatyczną ( gdzie p oraz V oznaczają ciśnienie i objętość "obszaru sprężyny".
Różniczkując ( np. względem czasu lub innej wielkości ) wyrażenie opisujące niezmienniczość przemiany adiabatycznej możemy uzyskać wzory następujące :
Ostatni ze wzorów możemy podstawić do wzoru na współczynnik sprężystości k uzyskując :
Ponieważ amplituda zmian ciśnienia akustycznego jest dużo mniejsza od statycznego ciśnienia atmosferycznego, możemy uznać, że Δ p < < p , a w konsekwencji - że Δ V < < V , a zatem w dalszej konsekwencji, że V 1 ≅ V 2 ≅ V oraz że
p 1 ≅ p 2 ≅ p .
Uwzględniając fakt, że drgająca u wylotu piszczałki "jednostronnej" masa da się wyrazić wzorem m = ρ * V można napisać wzór na częstotliwość rezonansową takiej piszczałki :
Należy teraz zastanowić się w tym miejscu nad doborem "parametru podziału" w piszczałki na jej część "sprężynową" i jej część "masową".
Przypomnijmy po raz kolejny ( znany z Teorii Drgań ) wzór opisujący oscylator harmoniczny tłumiony :
ω = √ ( k ⁄ m )
( gdzie k jest współczynnikiem sprężystości drgającej sprężyny, natomiast m jest masą drgającego ciężarka )
Postawmy sobie pytanie : "czym może drgać sama sprężyna ( tj. nieobciążona żadnym ciężarkiem ) ? ". Założmy, że ta sprężyna wykonana jest z bardzo ciężkiego metalu, charakteryzującego się dużą
gęstością, np. z wolframu. Czy wówczas "wolny" ( tj. 'niezakotwiczony' ) koniec takiej sprężyny może pełnić rolę ciężarka ? Jeżeli odpowiemy twierdząco na tak postawione pytanie, to musimy dalej się
zdecydować, ile zwojów z wolnego końca sprężyny uznamy za drgający ciężarek ? Jeżeli znajdziemy sposób rozwiązania tak postawionego problemu, to sposób ten możemy spróbować zaadaptować do piszczałki
jednostronnie otwartej ( drgająca swobodnie "ciężka" sprężyna bardziej przypomina taką piszczałkę niż sprężyna obciążona jakimś ciężarkiem "zewnętrznym" ). Trzymając się tej analogii "sprężynowej" spróbujmy
wyobrazić sobie ( lub przypomnieć sobie ), że rozciągamy palcami niezbyt sztywną sprężynkę ( wyjętą np. z popsutego długopisu ). Wówczas można zauważyć, że zwoje umieszczone blisko palca przesuwają się jako
całość (tj. nie ulegają rozciąganiu ) ; wyraźniejszemu rozciąganiu ( wyraźniejszej deformacji ) ulegają natomiast zwoje sprężyny usytuowane nieco dalej od ciągnącego palca. Można przypuszczać, że to spostrzeżenie
powinno się odnosić również do piszczałki jednostronnie otwartej. Część słupka powietrza usytuowana bliżej otwartego końca piszczałki powinna przemieszczać się "jako całość", tj. niczym niewidoczny, przeźroczysty
tłoczek z powietrza. Nasuwa się od razu pytanie : "ile wynosi w takim razie długość takiego `tłoczka` ? ". Być może ta analogia z tłoczkiem byłaby bardziej adekwatna, gdyby wyobrazić sobie ów "tłoczek" jako tłoczek
wykonany np. z miękkiej gumy. Wówczas podczas przesuwania takiego "gumowego tłoczka" tłoczek ów ulega lekkiemu ściskaniu, a każdy krańców takiego tłoczka przesuwa się o nieco inną wartość. Zatem długość owego wirtualnego
"tłoczka powietrznego" da się ustalić jedynie na podstawie jakiegość ( mniej czy bardziej ) arbitralnie przyjętego kryterium dotyczącego dopuszczalnej różnicy przemieszczeń obu skrajnych krańców tego boczka.
Spróbujemy takie kryterium nieco dalej sformułować, ale na początek zauważmy, że im bardziej posuwamy się w głąb piszczałki ( w stronę jej zamkniętego końca ), tym bardziej słupek powietrza staje się bardziej "sztywny" :
Z powyższego wzoru wynika wyraźnie, że w miarę skracania długości słupka powietrza ( czyli parametru x ) rośnie wartość współczynnik sprężystości k , czyli ów słupek powietrza ulega to coraz
większemu usztywnieniu. Zastanówmy się zatem, jaka powinna być długość "masowego" słupka powietrza, aby jego przemieszczenie o Δ x 1 spowodowało przemieszczenie się tego drugiego końca
słupka "masowego" o Δ x 2 ( przy czym przyjmijmy, że L - całkowita długość piszczałki, natomiast L x = L - - l S ).
Należy wyznaczyć teraz zależność przyrostu ciśnienia Δ p od początkowego przemieszczenia "masowego" fragmentu słupka powietrza o Δ x 1 :
Kojarząc ze sobą oba powyższe wzory możemy wyznaczyć zależność Δ x 2 od Δ x 1 :
Założmy teraz, że Δ x 2 jest nie mniejsze od połowy wychylenia Δ x 1 ( bo w przeciwnym razie trudno byłoby mówić o przemieszczeniu
się "masowego" fragmentu słupka powietrza jako wirtualnego tłoczka ). Z tego warunku wyznaczamy, że L S = 2 / 3 L ; podstawmy tę zależność do dalszych wzorów.
Uwzględniając fakt, że V = S * l S możemy wyrażenie na częstotliwość rezonansową piszczałki jednostronnie przekształcać dalej :
Proszę zwrócić uwagę na iloraz ciśnienia i gęstości stojący pod znakiem pierwiastka. Całe to wyrażenie przypomina swoją postacią tzw. wzór Laplace'a opisujący
prędkość propagacji podłużnych fal akustycznych w ośrodkach gazowych :
( gdzie κ stanowi tzw. współczynnik ściśliwości adiabatycznej . )
Stąd ogólna postać wzoru na częstotliwość rezonansową piszczałki jednostronnie otwartej przyjmuje postać ostateczną :
W ten przybliżony sposób, ale za to z wykorzystaniem wyłącznie matematyki elementarnej, został wyprowadzony znany wzór na podstawową częstotliwość rezonansową piszczałki jednostronnie otwartej ( zamkniętej ).
Wzór ten jest znany, ponieważ można go znaleźć na wielu stronach "dydaktycznych" , np. na stronie WWW :
http://cmf.p.lodz.pl/darkrzyz/wyk1str.pdf
Pozostaje teraz jeszcze pytanie otwarte dotyczące rozkładu "strzałek" i "węzłów" wzdłuż osi podłużnej piszczałki jednostronnie otwartej ( zamkniętej ).
Zanim sformułujemy odpowiedź na tak postawione pytanie, powróćmy na chwilę do piszczałki dwustronnie zamkniętej. Powróćmy i zastanówmy się, czy na rurze stanowiącej ową piszczałkę można "bezpiecznie" nawiercać otwory, a czy wewnątrz samej piszczałki
można "bezpiecznie" umieszczać jakieś przeszkody ( np. przegrody ) ? Przysłówek "bezpiecznie" oznacza w tym przypadku, że zarówno ani owo nawiercanie otworów ani wstawianie przeszkód nie zakłóci rozkładu fali stojącej wewnątrz piszczałki dwustronnie
zamkniętej. Przypomnijmy sobie przykład "rury Rubensa" i zauważmy, że płomyki miały najmniejszą wysokość, w miejscach, w których położenie otworka pokrywało się z położeniem "węzła" ciśnienia akustycznego.
Zatem w miejscach, w których występuje "węzeł" ciśnienia akustycznego, a zarazem - "strzałka" prędkości akustycznej, można bezpiecznie wywiercać otworki, ponieważ wówczas ośrodek pulsujący wewnątrz piszczałki "dwustronnej" praktycznie nie reaguje z ośrodkiem
znajdującym się na zewnątrz owej piszczałki. Jeżeli piszczałka dwustronnie zamknięta pracuje w trybie podstawowym, tj. pośrodku tej piszczałki znajduje się pojedynczy węzeł ciśnienia akustycznego, to pośrodku tej piszczałki można nawiercić cały "pierścień" ( pierścień
prostopadły do osi głównej piszcałki ) zawierający gęsto sąsiadujące ze sobą otworki, a zachowanie piszczałki i rozkład fali stojącej w żaden sposób nie ulegną zmianie w wyniku tej "perforacji".
Co więcej, można pójść o krok dalej i wyobrazić sobie, że piszczałka dwustronnie zamknięta została pośrodku przecięta i obie rozcięte 'połówki' zostały nieznacznie rozsunięte na bardzo małą odległość ( dużo mniejszą od długości piszczałki ).
W rozkładzie fali stojącej nic się wówczas nie zmieni. Możemy teraz posłużyć się czymś w rodzaju eksperymentu myślowego i wyobrazić sobie, że owa piszczałka dwustronnie
zamknięta nie została rozcięta na dwie równe połowy, ale że została zestawiona z dwóch identycznych piszczałek jednostronnie otwartych ( lub zamkniętych ) dostawionych do siebie otwartymi końcami ( co obrazuje poniższy rysunek ) :
Podstawowe częstotliwości rezonansowe obu identycznych 'jednostronnych' piszczałek składowych będą te same, zatem możemy napisać :
f j = c ⁄ 4 l
f d = c ⁄ 2 L
( gdzie f j jest podstawową częstotliwością rezonansową każdej z dwóch piszczałek jednostronnie zamkniętych ; l jest długością piszczałki jednostronnie zamkniętej, f d jest podstawową częstotliwością rezonansową piszczałki dwustronnie zamkniętej , L jest długością piszczałki dwustronnie zamkniętej. )
Ponieważ L = 2 * l , zatem podstawowa częstotliwość rezonansowa jest wspólna dla wszystkich rozpatrywanych piszczałek, tj. zarówno dla piszczałki dwustronnie zamkniętej, jak i dla obu identycznych piszczałek jednostronnie otwartych.
Zatem przy podstawowym trybie rezonansowym u wylotu ( u otwartego końca ) piszczałki jednostronnej mieści się 'strzałka' prędkości akustycznej, natomiast u zamkniętego końca piszczałki "jednostronnej" tworzy się strzałka ciśnienia.
Innymi słowy, w podstawowym trybie rezonansowym w piszczałce jednostronnie zamkniętej mieści się ćwiartka długości fali ( w piszcałce dwustronnie zamkniętej mieści się połówka długości fali ).
A co będzie, jeżeli zestawimy dwie piszczałki jednostronnie otwarte, ale zamkniętymi końcami do siebie ( rys. poniżej ) :
Podstawowa częstotliwość rezonansowa będzie wówczas oczywiście wspólna dla obu składowych piszczałek "jednostronnych". Zamiast zestawiać w ten sposób piszczałki jednostronne, możemy sobie wyobrazić odcinek rury otwarty z obydwu końców, gdzie pośrodku owego odcinka umieszczamy jakąś przegrodę ( rys. poniżej ) :
Długości "lewej", jak i "prawej" komory powyższego zestawu równe są l , gdzie l = L ⁄ 2 , gdzie L jest długością całego odcinka rury otwartej na obu końcach.
Oczywiście taki podwójny "zestaw" piszczałek jednostronnie otwartych będzie drgał ze wspólną częstotliwością rezonansową ( ponieważ długości obu "połówek" są identyczne ).
Zastanówmy się teraz, czy wewnątrz którejkolwiek z dotychczas poznanych piszczałek można 'bezpiecznie' ( tj. bez zakłócania rozkładu fali stojącej ) umieścić przegrodę. Po chwili zastanowienia dojdziemy do wniosku, ze takie dodatkowe przegrody możemy umieszczać ( i usuwać ! ) w miejscach,
gdzie znajdują się "węzły" prędkości ; w takich miejscach ośrodek, w którym pojawiła się fala stojąca, jest praktycznie "znieruchomiały", a zatem ewentualna obecność jakiejś przegrody niczego nie zmienia.
Usuńmy zatem centralną przegrodę ze środka owej rury dwustronnie otwartej ( na obu końcach ). Usunięcie owej przeszkody nie powinno spowodować zaniknięcia podstawowego drgania rezonansowego o
częstotliwości :
f = c ⁄ ( 4 * l ) = c ⁄ ( 2 * L )
Zatem odcinek rury otwartej z obu końców posiada taką samą częstotliwość rezonansową co odcinek rury o tej samej długości, ale zamknięty z obydwu końców.
Nazywa się go zatem piszczałką 'dwustronnie otwartą'. Jedyna różnica, to charakter rozkładu fali stojącej. Przy podstawowym trybie rezonansowym piszczałki dwustronnie otwartej pośrodku takiej piszczałki pojawia się
strzałka ciśnienia akustycznego, natomiast przy jej otwartych krańcach pojawiają się strzałki prędkości akustycznej.